定积分公式大全
2021-04-01 15:47:31
定积分公式大全
一、定义与公式
定义：定积分是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式。
公式：
余弦定理推论：
定积分的性质
1、当a=b时，
;
2、当a>b时，
;
3、常数可以提到积分号前,
;
4、代数和的积分等于积分的代数和,
;
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
;
又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。
6、如果在区间[a,b]上，$f(x) \geq 0$,则
;
7、积分中值定理 ：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点$\varepsilon$在[a,b]内使
;
经典例题：
利用微积分基本定理求
定积分
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 计算出被积函数的原函数；
第二步 求出定积分.
例1
的值为（ ）
A．
B．
C．1 D．2
【答案】D
【解析】
试题分析：第一步，计算出被积函数的原函数：被积函数的原函数为cosx；
第二步，求出定积分：所以$\int_{0}^{\pi} \sin x d x=-\left.\cos x\right|_{0} ^{\pi}=2$.
考点：微积分基本定理．
【点评】一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本 求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.
【变式演练1】下列计算错误的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：A选项，
，所以A正确；B选项，
，所以B正确；C选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。学#科网
考点：定积分的计算。
【变式演练2】
（ ）
A．
B.
C．
D．
【来源】【全国市级联考】凉山州2018届高中毕业班第二次诊断性检测数学(理科)试题
【答案】A
【解析】$\int_{0}^{1}\left(x-e^{x}\right) d x=\left.\left(\frac{1}{2} x^{2}-e^{x}\right)\right|_{0} ^{1}=\left(\frac{1}{2}-\mathrm{e}\right)-(-1)=\frac{3}{2}-e$，故选A
考点：定积分的计算
【变式演练3】如图，在矩形ABCD中， AB=2， AD=1，以A为顶点且过点C的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D.
【来源】【全国市级联考】湖北七市（州）教研协作体2018年3月高三联考考试理科数学试卷
【答案】B
【解析】由题可知建立以AB为X轴，AD为Y轴的直角坐标系，则抛物线方程为
，故阴影部分的面积为:
, 则此点落在阴影部分内的概率为
考点：定积分的应用.
【变式演练4】若
，则a的值是___________．
【答案】a=2
试题分析：由$\int_{1}^{a}\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x=\left.\left(x^{2}+\ln x\right)\right|_{1} ^{a}=a^{2}+\ln a-1=3+\ln 2$，得$\left\{\begin{array}{l}a^{2}-1=3 \\ \ln a=\ln 2\end{array}\right.$，所以a=2.
考点：定积分的运算．
【变式演练5】由曲线
和直线
所围成的图形的面积为__________．
【来源】【全国市级联考】河南省八市2017-2018学年高二下学期第一次测评理科数学试题
【答案】18
【解析】联立方程：
解得曲线$\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{x}$ 和直线y=x﹣4的交点坐标为：
（2，﹣2），（8，4）
选择y为积分变量
∴由曲线$\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{x}$ 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积：
$\mathrm{S}=\int_{-2}^{4}\left(y+4-\frac{y^{2}}{2}\right) d y=\left.\left(\frac{1}{2} y^{2}+4 y-\frac{1}{6} y^{3}\right)\right|_{-2} ^{4}=18$，故答案为：18
考点：定积分的计算．学科$\&$网
【变式演练6】设
若$f(f(1))=1$，则a= _______ ．
【答案】1
【解析】
试题分析：因为$\int_{0}^{a} 3 t^{2} d t=\left.t^{3}\right|_{0} ^{a}=a^{3}$，所以$f(1)=\lg 1=0$，
.
考点：1．函数的表示；2．定积分运算．
【变式演练7】若$\int_{-n}^{n}|x| d x=36$ (其中n>0),则$(2 x-1)^{n}$的展开式中$x^{2}$的系数为_______．
【来源】【全国校级联考】江西省重点中学协作体2018届高三下学期第一次联考数学（理）试题
【答案】60
考点：定积分．