排列组合计算公式

排列组合计算公式

一、定义与公式

定义：所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

二、例题

经典例题：

用0、1、2、3、4、5共六个数字，组成无重复数字的自然数。

(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数？

(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？

（一）0是个位数：$C_{5}^{2}=20$ 

（二）2是个位数： 20-4=16

（三）4是个位数： 20-4=16

共16+16+20=52

（0、1、2）、（0、1、5）、（0、2、4）、（0、4、5）、（1、2、3）、

（1、3、5）、（2、3、4）、（3、4、5）

12→（1、0、2）、（1、2、0）与（2、0、1）、（2、1、0）4x4=16

（1、2、3）→3！=6 ，6x4=24

24+16=40

高考真题：

1．（2020·海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2种 B．3种 C．6种 D．8种

【答案】C

【分析】第一步，将3名学生分成两个组，有$C_{3}^{1} C_{2}^{2}=3$种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有$A_{2}^{2}=2$种安排方法

所以，不同的安排方法共有$3 \times 2=6$种

故选：C

3．（2020·海南高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

【答案】C

【分析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有$C_{6}^{1}$；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有$C_{5}^{2}$；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有$C_{6}^{1} \cdot C_{5}^{2}=6 \times 10=60$种.

故选：C

5．（2021·全国高三专题练习）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂.某地区安排$A, B, C, D, E$五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且$A, B$两人安排在同一个地区，$C, D$两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（    ）

A．86种 B．64种 C．42种 D．30种

【答案】D

【分析】①当两个地区各分2人另一个地区分1人时，总数有$C_{2}^{1} \cdot A_{3}^{3}=12$种；

②当两个地区各分1人另一个地区分3人时，总数有$C_{3}^{1} \cdot A_{3}^{3}=18$种.

故满足条件的分法共有$12+18=30$种.

故选：D

6．（2021·全国高三专题练习）如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（   ）

A．50种 B．51种 C．140种 D．141种

【答案】D

【详解】

试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有$C_{6}^{6}=1$种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有$A_{6}^{2} C_{4}^{4}=30$种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有$C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{2}=90$种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有$C_{6}^{3} C_{3}^{3}=20$种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有$1+30+90+20=141$种方案,故D正确.

考点：排列组合，考查分类讨论思想.