椭圆的一般方程
2021-04-01 18:14:00
椭圆的一般方程
一、定义与公式
定义：椭圆的离心率又称：偏心率。离心率是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
公式：
椭圆离心率：$e=\frac{c}{a}$ 或 $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ → a²=b²+c²
特征：
1、范围：焦点在x轴上，$-a \leq x \leq a,-b \leq y \leq b$ ；焦点在y轴上，$-b \leq x \leq b,-a \leq y \leq a$。
2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。
4、离心率： $e=\frac{c}{a}$ 或 $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$。
5、离心率范围：0 6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。 7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。 8、 9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2）≤a+c。 10、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。 公式推导： 圆：x²+y²=1 椭圆：ax²+by²=1 a(x-c)²+b(y-d)²=1 椭圆旋转公式：x′=x cos φ-y(a/b)sin φ， y′=x·(b/a)sin φ+ycos φ x=ex`+fy` y=gx`+hy` a(ex`+fy`-c)²+b(gx`+hy`-d)²=1 ax²+by²+cx+dy+e=0 二、例题 例题1： 椭圆的一个顶点为A(2,0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程和一般方程。 解：当A(2,0)为长轴端点时，a=2，b=1 标准方程：x²/4+y²=1，一般方程：x²+4y²-4=0 当A(2,0)为短轴端点时，a=2，b=4 标准方程：x²/4+y²/16=1，一般方程：4x²+y²-16=0 例题2： 已知椭圆$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，焦点$F_{1}(-2,0)$，$F_{2}(2,0)$.过$F_{1}(-2,0)$作倾斜角为$60^{\circ}$的直线L交上半椭圆于点A，以$F_{1} A$，$F_{1} O$（O为坐标原点）为邻边作平行四边形$O F_{1} A B$，点B恰好也在椭圆上，则椭圆的长轴长为（ ） A．$2 \sqrt{3}$ B．$2 \sqrt{2}$ C．$2+2 \sqrt{3}$ D．$2 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}$ 例题3： 若点P 是椭圆$\frac{x^{2}}{4 b^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$上的点，且点I是焦点三角形$\triangle P F_{1} F_{2}$的内心，$\angle F_{1} P F_{2}$的角平分线交线段$F_{1} F_{2}$于点M，则等于$\left|\frac{P I}{I M}\right|$等于( ) A．$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B．$\frac{\sqrt{2}}{2}$ C．$\frac{\sqrt{3}}{2}$ D．$\frac{1}{2}$ 例题4： 已知椭圆$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}, F_{2}$，若C上存在一点P，使得$\angle F_{1} P F_{2}=120^{\circ}$，且$\triangle F_{1} P F_{2}$内切圆的半径大于$\frac{\sqrt{3}}{12} a$，则C的离心率的取值范围是（ ） A．$\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ B．$\left(0, \frac{11}{12}\right)$ C．$\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{11}{12}\right)$ D．$\left(\frac{11}{12}, 1\right)$
与（m为实数）为离心率相同的椭圆。
